Ukończył Konserwatorium w Petersburgu (1965), gdzie studiował dyrygenturę operową i symfoniczną u prof. I. Musina. W roku 1963 dodatkowo kształcił się u sławnego dyrygenta francuskiego I. Markevitcha.

 Od 1963 roku prowadzi Litewską Narodową Orkiestrę Symfoniczną.

Juozas Domarkas występuje gościnnie z liczącymi się orkiestrami w Rosji i innych krajach. Był członkiem jury Międzynarodowych Konkursów im. G. Fitelberga w Katowicach w latach 1991, 1995 i 2003 oraz I i II Międzynarodowych Konkursów im. S. Prokofiewa w Petersburgu (1993, 1996).

Ma na swym koncie liczne nagrania płytowe z różnymi orkiestrami. Dyryguje muzyką współczesną; dedykowano mu wiele kompozycji; dokonał licznych premier i nagrań utworów współczesnych. Artystyczna działalność zapewniła Juozasowi Domarkasowi uznanie krytyki w Czechach, Polsce, na Litwie, w Rosji i innych krajach.

Prowadzi Litewską Narodową Orkiestrę Symfoniczną, z którą występował w Niemczech, Anglii, Hiszpanii, Francji, Wielkiej Brytanii i Japonii. Koncertował w wiedeńskiej Musikverein, londyńskim Barbican Center, warszawskiej Filharmonii Narodowej oraz na festiwalach takich jak Praska Wiosna czy w Szleswiku-Holsztynie.

Kieruje Wydziałem Dyrygentury Litewskiej Akademii Muzycznej.

W roku 1998 otrzymał Order Giedymina I i Nagrodę Rządu Litewskiego za zasługi dla kultury litewskiej. W roku 2001 został laureatem litewskiej Nagrody Państwowej.

W 2006 roku "za rozwój kontaktów kulturalnych między Litwą a Polską" przez prezydenta RP, Lecha Kaczyńskiego odznaczony został Krzyżem Kawalerskim Orderu Zasługi Rzeczypospolitej Polskiej.